Задачи, полезные для развития способностей
27.10.2011
Вернуться в раздел "Домашние помощники"

Оглавление:

 

Развитие математических способностей

ЗАДАЧИ, ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ РАЗВИТИЯ СПОСОБНОСТЕЙ


Специальные исследования показали, что особенно полезны для развития математических способностей, математического мышления у детей младшего и среднего школьного возраста задачи определенных типов.
Мы приводим здесь примерные задачи этих типов. Задачи по своей трудности рассчитаны на учащихся IV—VIII классов, а некоторые из них можно предлагать и более способным к математике учащимся младшего возраста. По данному образцу учителя или достаточно подготовленные в области математики родители, старшие члены семьи могут подобрать и другие аналогичные задачи.
Очень полезно, если учащиеся будут пытаться сначала решить эти задачи (по крайней мере, многие из них) в уме, а уж потом приступят к письменному решению. Учитель математики поможет в оценке правильности решения. Если школьник уже знаком с алгеброй, то полезно побудить его сначала попытаться найти арифметическое решение, а уж потом решить задачу алгебраическим путем. Задачи не только полезны, но они и интересны, и учащиеся обычно с большим увлечением и упорством решают их. Разумеется, отнесение задачи к тому или иному типу (исключая первые 3 типа) до некоторой степени условно.

I. Задачи с несформулированным вопросом. В этих задачах нарочито не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Учащиеся упражняются в осмысливании логики данных в задаче отношений и зависимостей. Задача решается после того, как ученик сформулирует вопрос (иногда к задаче можно поставить несколько вопросов). В скобках указывается пропущенный вопрос.
1. На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной 5 м и 8 м. (Сколько уложено тех и других труб?)
2. Мы сделали покупку. Если заплатить за нее трехрублевыми деньгами, то придется выдать восемью денежными знаками более, чем в том случае, если заплатить пятирублевыми. (Сколько стоит покупка?)
3. До конца суток осталось 4/5 того, что уже протекло от начала суток. (Который сейчас час?)

II. Задачи с недостающими данными. В задачах этого типа отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить. В скобках указываются пропущенные данные.
1. Банка с медом весит 500 г. Такая же банка с керосином - 350 г. Сколько весит пустая банка? (Нужно знать отношение веса меда и керосина.)
2. Собака погналась за лисицей, находящейся от нее в 30 м. Скачок собаки — 2 м, скачок лисицы— 1 м. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу? (Нет данных относительно отношения частоты скачков, например, в то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка.)
3. Даны две окружности, радиус одной из них - 3 см, расстояние между их центрами - 10 см. Пересекаются ли эти окружности? (Требуется знать радиус другой окружности.)

III. Задачи с излишними данными. В эти задачи нарочито введены дополнительные ненужные данные, до известной степени маскирующие необходимые для решения показатели. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы, для решения, и указать на лишние, ненужные (ненужные данные выделены курсивом).
1. Четыре гири разного веса весят вместе 40 кг. Определить вес самой тяжелой гири, если известно, что каждая из них втрое тяжелее другой, более легкой, и что самая легкая весит в 12 раз меньше, чем весят вместе две средних.
2. В магазине развесили картофель в 24 пакета весом по З кг и 5 кг, причем число первых оказалось больше, чем вторых. Вес всех пятикилограммовых пакетов оказался равным весу всех трехкилограммовых пакетов. Сколько было тех и других? 

IV. Задачи на доказательство. Сущность этих задач в доказательстве определенных положений. Учащиеся упражняются в построении правильного, обоснованного, последовательного рассуждения.
1. Доказать, что выражение х?+х+1= не может быть отрицательным числом при любом значении х.
2. Написать любое трехзначное число, цифры сотен, десятков и единиц которого есть последовательные числа натурального ряда. Затем написать число теми же цифрами, но в обратном порядке. Из большого числа вычесть меньшее. Доказать, что во всех случаях должно получиться 198.
3. Восстановить пропущенные числа в записи сложения:
4  .
+ .  .  2
______
.  .  0  1

4. Найти значение букв в записи сложения данных многозначных чисел (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами)

Смех
+  Гром
_______
Греми

V. Задачи на рассуждение (или составление уравнений).
1. Прибавить 36 к данному числу - это все равно, что умножить это неизвестное число на 4. Какое это число?
2. Я загадал число. Сумма половины и трети его на 7 единиц больше четверти его. Что это за число?
3. «Скажи-ка, дедушка, какого возраста твой сын?» - «Ему столько же недель, сколько внуку дней». - «А внук в каком возрасте?» - «Ему столько месяцев, сколько мне лет». - «Сколько же тебе лет-то?» - «Троим вместе ровно 100 лет». Сколько лет каждому?
4. Разделите число 100 на четыре неравные части с таким расчетом, что, если от первого числа отнять 4, ко второму прибавить 4, третье умножить на 4, четвертое разделить на 4, то во всех случаях получится одинаковый результат. Какие это числа?

VI. Задачи с несколькими решениями. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи. Если эти решения неравноценны с точки зрения экономичности и рациональности, то ученик должен дать с этой точки зрения оценку каждому решению.
Надо побуждать школьника найти наиболее рациональное, ясное, простое, изящное решение.
1. Сколькими способами можно уплатить 78 руб., имея денежные знаки трех- и пятирублевого достоинства?
2. В четырех классах всего 118 учеников, в том числе в I и II классах вместе - 70 учеников; в I и III вместе - 65 учеников: во II и III вместе - 59 учеников. Сколько учеников в IV классе?
3. Найти сумму всех целых чисел от 1 до 50.
4. К 3 л воды температурой 36° добавили 4 л воды комнатной температуры (15°). Какая температура установится в сосуде?
5. На колхозном дворе бегают кролики и куры. У них вместе 125 голов и 338 ног. Узнать число тех и других.

VII. Задачи на соображение.
Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако в ряде случаев необходимо проявить известную изобретательность.
1. Для нумерации страниц тома энциклопедии потребовалось 6869 цифр. Сколько страниц в томе?
2. На школьной олимпиаде ученики решали 10 задач. За каждую правильно решенную задачу участнику засчитывалось 5 очков, за каждую нерешенную - высчитывалось 3 очка. Сколько задач решил школьник, получивший в итоге 10 очков?
3. Все целые числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 1955 месте?
4. Найти наименьшее число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 дает в остатке 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4.
5. Имеется 2 сосуда. В первом находится 1 л воды, а другой — пустой. Из первого сосуда переливают половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают треть имеющейся в нем воды в первый, потом из первого переливают четверть имеющейся в нем воды во второй и т. д. Найти количество воды, оказавшееся в первом сосуде после 1965 переливаний.

VIII. Задачи на логическое рассуждение.
На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность. Не все эти задачи являются математическими в узком смысле слова, некоторые из них являются логическими задачами.
1. Старинная задача. Двугривенный весит вдвое больше, чем гривенник, серебра в нем вдвое больше и стоит он вдвое дороже. Что же дороже — 1 кг гривенников или ? кг двугривенных?
2. В коробке лежат 16 шариков - черных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз меньше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков? (Решить и доказать. Доказать, что это - единственный вариант решения.)
3. Из пруда сетью выловили 40 рыб, каждую пометили и опять пустили в пруд. На другой день выловили сетью 60 рыб и среди них оказалось 4 меченых. Как приблизительно оценить количество рыб в пруду?
4. Из 9 совершенно одинаковых по внешнему виду подшипников один бракованный - он несколько легче остальных. Как найти его не более чем двумя взвешиваниями на обычных двухчашечных весах без гирь?
5. Старинная задача. Шли 12 человек и несли дюжину хлебов. Каждый мужчина нес по 2 хлеба, каждая женщина — по полхлеба, а каждый ребенок — по четверти хлеба. Сколько шло мужчин, женщин и детей?

IX. Задачи с наглядным решением.
Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно-образных средств (рисунков, схем, чертежей). Тренируется способность наглядно выражать математические соотношения задачи. Сначала ученика просят решить указанные задачи рассуждением, без опоры на наглядные образы.
1. Сколько весит кирпич, если он весит килограмм плюс полкирпича?
2. Перед началом математической олимпиады между 12 и 13 часами школьник посмотрел на часы. Кончив работу между 17 и 18 часами, он заметил, что стрелки поменялись местами. Сколько было времени, когда он начал и кончил работу?
3. Два грузовика в одно время выехали из пункта А в пункт Б и обратно (без остановки). Первый грузовик двигался все время с одинаковой скоростью, а второй туда двигался со скоростью, вдвое меньшей, чем первый, но зато обратно - со скоростью вдвое большей, чем первый. Какой грузовик раньше вернется в пункт А?
4. Поезд проходит мимо телеграфного столба за ? мин, а за ? мин проходит тоннель длиной 540 м. Какова скорость поезда и его длина?
5. После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему еще осталось пройти ? всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
6. Сыну 7 лет, отцу 37 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?
7. Каждую сторону квадрата увеличили на 3 см, и поэтому площадь его увеличилась на 39 см?. Определить сторону получившегося квадрата.
8. Каковы должны быть размеры квадрата, чтобы его периметр численно равнялся его площади?

X. Задачи, требующие наглядных представлений.
Задачи этого типа учащиеся должны решать в уме, без помощи карандаша и бумаги, без опоры на соответствующие фигуры или тела. Решение подобных задач тренирует пространственные представления, способность мысленно «видеть» соответствующие фигуры, тела, пространственные соотношения.
1. Какой угол опишет часовая стрелка за 2 часа? за 20 мин? а минутная стрелка - за 10 мин? за 25 мин?
2. Часы показывают 2 часа 50 мин. Сколько примерно они будут показывать времени, если стрелки поменять местами?
3. Какую поверхность образует прямоугольный треугольник при вращении около катета? а около гипотенузы?
4. Деревянный окрашенный куб с ребром 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько получится кубиков с одной окрашенной гранью? а с двумя? с тремя? без окрашенных граней?
5. Какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной к одной из его диагоналей?