Как же быть с «неспособными»?
24.11.2011
Вернуться в раздел "Домашние помощники"

Оглавление:

 

Развитие математических способностей

КАК ЖЕ БЫТЬ С «НЕСПОСОБНЫМИ»?

Преодоление неуспеваемости по математике требует от родителей большой настойчивости и упорства. Здесь не всегда можно рассчитывать на быстрый и легкий успех. Совершенно необходима координация действий родителей с действиями учителя математики, который поможет конкретными советами и рекомендациями.
Сравнительно проще дело обстоит в том случае, когда неуспеваемость объясняется пробелами в знаниях ученика, его ленью или неумением работать. Выяснив (после консультации с учителем), какие именно разделы из предыдущего материала не усвоены или плохо усвоены учеником, следует организовать дополнительные занятия (если они не организованы в школе), стараясь оказать помощь школьнику или силами товарищей, или других членов семьи, более или менее компетентных в математике, обладающих соответствующими знаниями и умениями в объеме школьного курса математики. Учитель окажет в этом случае методическую помощь, выделит задачи, упражнения, которые необходимо решить. Ликвидировав пробелы в знаниях ученика, обычно удается добиться успешного усвоения им и текущего материала.

Если неуспеваемость объясняется ленью ученика, то здесь скорее нужны воспитательные меры общего характера (установить строгий режим, проявлять систематическую требовательность). Если причиной плохой успеваемости является неумение работать, то следует помочь ребенку овладеть рациональными приемами и навыками учебного труда, формировать у него организованность, навыки самостоятельного умственного труда, привычку к длительному волевому усилию.

Сложнее дело обстоит в тех сравнительно редких случаях, когда ученик старается, прилежно работает, но математика дается ему с большим трудом, чем его одноклассникам. И в этом случае не следует делать вывод об отсутствии способностей к изучению математики, но малые способности, по-видимому, налицо. Здесь очень важен совет учителя и индивидуальный подход, так как один ученик не понимает алгебраических преобразований, другой не понимает, как решать уравнения, третий не понимает геометрии. Одному в геометрии не дается метод доказательства, другой не справляется с задачами, требующими наглядных представлений. Таким ученикам нужно специально помогать усваивать математику. Ясно, что требовать этого только от учителя нельзя. Родители или другие члены семьи, в частности старшие братья и сестры, более подготовленные в математике, должны оказать практическую помощь школьнику в усвоении математики.

Вот несколько конкретных советов, методических рекомендаций, которые оправдали себя в практической работе с малоспособными к математике учащимися.

Первый совет. Настойчиво приучайте школьника к самостоятельному мышлению (начиная с его элементарных форм), учите его рассуждать и понимать рассуждение. Ни в коем случае не добивайтесь, чтобы ученик запоминал непонятное, заучивал чисто механически. Пользы от этого нет никакой. С этой целью, например, можно побуждать школьника самостоятельно находить ошибку в своем решении, рассуждении или определении.

Например, ученик дает такое «определение»: «Окружность - это кривая линия». Не спешите сразу поправить его. Лучше, если мальчик подумает и поправит себя сам. Чтобы дать толчок его мысли, можно начертить кривую незамкнутую линию и сказать: «Вот кривая линия, и согласно твоему определению это - окружность!» Ученик уточняет: «Окружность - это замкнутая кривая линия». Чертим вытянутый овал. «По-твоему это - окружность? Видишь - ведь это кривая замкнутая линия!» Ученик дает более правильное определение: «Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой равно удалены от одной точки, называемой центром».

Чтобы добиться совершенно ясного понимания, можно взять глобус или любой шарообразный предмет, провести на его поверхности извилистую замкнутую линию и указать, что все точки этой линии тоже будут равно удалены от одной точки - центра шара. И ученик теперь дает совершенно правильное определение, указывая еще на один признак - кривая эта находится на плоскости.
Для развития гибкости мышления малоспособных школьников полезно упражнять в решении одной и той же задачи различными путями (если это, конечно, возможно). Хорошо дать задание школьнику (и помочь ему в этом) найти арифметическое решение некоторых задач, которые он решал алгебраическим способом. Это поможет ему лучше понять особенности математических отношений, которые лежат в основе задачи, и будет препятствовать формированию шаблонных и трафаретных способов решения (так как если задачу довольно легко решить способом уравнений, то иные учащиеся часто решают ее механически). При этом важно добиваться, чтобы школьник понял принцип решения, схему рассуждения и научился применять ее в сходных ситуациях, в других задачах этого же типа.

Второй совет. Необходимо научить и приучить школьника тщательно анализировать условие задачи или теоремы, не торопиться с решением. Надо добиваться, чтобы ученик умел осмыслить задачу, понять, как связаны числа, данные в задаче. Многие родители, помогающие своим детям овладевать математикой, не придают этому большого значения. По их мнению, детей надо научить решать задачу, доказывать теорему, а не специально учить анализировать их условия. Но нельзя научиться решать задачи, не умея анализировать их условий. Запомним, что опытные учителя математики любят повторять: хорошо проанализировать условие задачи - это уже наполовину решить ее.

Третий совет. Отвлечение от конкретных чисел, конкретных значений и оперирование буквенными показателями представляет известные трудности в процессе овладения началами алгебры. Поэтому можно рекомендовать в ряде случаев предложить ученику решить аналогичную конкретную задачу, образно выражаясь - «опереть» алгебру на арифметику.
Например, шестиклассник не может решить задачу: «Тетрадь стоит а коп., а  карандаш - b коп.  Сколько придется заплатить за х тетрадей и у карандашей». Но он уже уверенно решит эту задачу и поймет принцип решения подобных задач, если ему предложить несколько вариантов указанной задачи с постепенным обобщением ее элементов (1-й вариант: 5 тетрадей ценой по 2 коп. и 4 карандаша ценой по 3 коп.; 2-й вариант: 5 тетрадей ценой по 2 коп. и 4 карандаша ценой по b коп.; 3-й вариант: 5 тетрадей ценой по 2 коп. и у карандашей ценой по b коп.; 4-й вариант: 5 тетрадей ценой по а коп. и у карандашей ценой по 6 коп.)

Четвертый совет. Следует добиваться, чтобы дети пытались наглядно-графически представить себе математические соотношения (если это возможно), характерные для той или иной задачи; надо побуждать их к поискам соответствующих образов и схем. Даже относительно трудные задачи становятся понятными ученику, если он сумеет наглядно представить себе отношение их элементов.
Дело в том, что подобные задачи многие учащиеся решают алгебраическим путем чисто механически, даже не пытаясь понять и представить себе сущность данных в задаче соотношений. Упражнения в наглядном решении подобных задач очень полезны для математического развития. Приведем пример.
Дана задача: «Школьники ходили в театр и кино. Каждый ходил либо в театр, либо в кино, но многие ходили и в театр и в кино. В театре было 89% школьников, в кино — 78%. Сколько школьников было и в театре и в кино?»
Далеко не всякий ученик V-VII классов решит эту задачу. Тем более это относится к отстающему ученику. Но как просто решается эта задача с применением наглядно-образных схем! Обозначим столбиком 100% школьников и отметим слева те 89%, которые были в театре: 11% школьников не были в театре, значит, они были в кино (так как по условию каждый пионер был либо в театре, либо в кино). Отметим справа те 78% школьников, которые были в кино. (см. рис. 1 и рис. 2).




Из графической схемы ясно видно, что и в театр и в кино ходили 67% школьников.
Особенно поражает детей такой пример. Подавляющее большинство не только школьников, но и взрослых неправильно решают задачи типа: сколько весит кирпич, если он весит килограмм и полкирпича. (Попробуйте это проверить!) Ответ обычно дают ошибочный (1,5 кг) и зачастую не понимают причину своей ошибки, несмотря на объяснения. Но задача становится совершенно ясной и понятной, если наглядно представить себе конкретные математические соотношения, данные в задаче. Изобразим схематически чашки весов и уравняем их согласно условию (см. рис. 3).



Ясно видно, что полкирпича весят 1 кг, а весь кирпич — 2 кг.
Если ученик начинает наглядно представлять себе математические соотношения, то он и оперирует ими более свободно.

Пятый совет. Известно, что менее способные к математике учащиеся испытывают наибольшие затруднения, когда перед ними ставится задача обобщить математические объекты, отношения или действия. Обычно они при этом нуждаются в постоянной опоре на наглядные образы и конкретные действия. Надо помогать им при обобщении отталкиваться от образа, от конкретных действий и все их внимание направить на формирование словесных обобщений. Если эти словесные обобщения обучающий будет достаточно широко конкретизировать, школьник научится самостоятельно обобщать, разумеется, при активной помощи обучающего.
Иллюстрируем сказанное на двух примерах.
Пример первый. Ученику не дается усвоение правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Ему предлагают последовательно решить систему усложняющихся конкретных действий соответствующего вида.
а • а = а?
х • х? = х • хх = х3
х3 • х4 = ххх • хххх = х7
у2 • у5 • у3 = уу • ууууу • ууу=у10.

Решив значительное количество подобных примеров, ученик рано или поздно практически обобщает действие на основе практического обобщения данных алгебраических выражений.
а? • а7 = а9.

Действует он верно, но правило сформулировать не может, т. е., словесного обобщения еще нет. Чтобы помочь ученику сделать это, вводится пример:
хn • xm = .

Ученик теряется. Обучающий поясняет, что «n» и m» обозначают какое угодно число. Предлагает действовать, как обычно. Ученик после нескольких проб и ошибок при помощи обучающего дает такое решение:

n    m           n раз               m раз             n+m
х • x =  ___________ •   ________  =  х
хххх . . . .          хххх . . . .

Обучающий обращает внимание ученика на решенные им примеры и предлагает последовательно вопросы: «Чем различаются все решенные тобою примеры? (ответ: «Разные буквенные обозначения и разные показатели степени»). «А что у них общего?» (ответ: «В каждом примере буквенные обозначения одинаковые, т. е. перемножаются одинаковые основания»). Как же ты сокращенно умножал? (ответ: «Я складывал степени, так как все равно к этому сводится дело»). А всегда так можно поступать? (ответ: «Всегда, так как у нас были разные примеры, в том числе и пример, где степени были обозначены как «любое число». И эти «любые числа» мы все равно складывали»). А как все это выразить в виде правила?» Ученик с помощью обучающего формулирует правило и записывает его обобщенное буквенное выражение:

n    m    n+m
а • а =  а

Пример второй. Ученик не понимает смысла доказательства теорем. Обучающий доказывает ученику на прямоугольном треугольнике теорему о сумме внутренних углов треугольника, вместе с учеником они отмечают, что сумма углов данного треугольника равна 180°. Далее ученик самостоятельно находит, чему равняется сумма внутренних углов остроугольного треугольника. Затем он проделывает это же в отношении тупоугольного треугольника и обращает внимание на то, что результат во всех трех случаях получился одинаковый. Случайно ли это совпадение? — спрашивает обучающий.

Ученик с помощью обучающего приходит к выводу, что аналогичную схему доказательства и аналогичные дополнительные построения можно применить к треугольнику любой формы и размера. Ученику предлагают начертить на доске треугольник самой необычной формы и убедиться в том, что и в отношении его можно применить ту же схему доказательства. Какой же вывод можно сделать в отношении суммы внутренних углов треугольника и относится ли он к любому треугольнику? - спрашивает обучающий. Ученик формулирует теорему и рассказывает последовательный ход доказательства.

Важнейшую роль в развитии способностей играет вера в свои силы, уверенность в своих возможностях и способностях к усвоению математики. Школьника надо убедить в том, что он вполне может и будет знать и понимать математику не хуже одноклассников, что «трудно» не значит «невозможно», что трудности, с которыми он встретился, вполне преодолимы.
Одним из необходимых условий формирования веры в свои силы является переживание школьником своих успехов, пусть первых и скромных. Поэтому важно так организовать работу слабо успевающего по математике школьника, чтобы он постоянно чувствовал свое движение вперед. Надо дать ему возможность пережим радость успехов на том пути, на котором до сих пор у него были только неудачи и огорчения.

Систематически работая с учащимся, вы преодолеете его неуспеваемость по математике.
В наши задачи не входит подробный анализ всех известных в психологии и методике способов и приемов преподавания математики. Мы указываем лишь на те приемы, которые оказались особенно эффективными в работе с малоспособными к математике школьниками.